Mínimo común múltiplo y máximo común divisor
Escribe dos números —o hasta cuatro— y recibe el mcm y el MCD con la tabla de la descomposición en factores primos armada línea por línea, como la enseña la escuela.
Los dos resultados, con la cuenta
De la tabla a los dos resultados
La tabla de la descomposición, línea por línea
12, 18 │ 2 ✓
6, 9 │ 2
3, 9 │ 3 ✓
1, 3 │ 3
1, 1 │Cada línea divide los números de la vez por el menor factor primo posible — el que no es divisible baja repetido — hasta que solo queda 1. El ✓ marca las líneas en las que el primo dividió todos los números a la vez: el producto de esas líneas es el MCD. El producto de la columna entera es el mcm.
¿Cómo mejorar esta calculadora?
¿Faltó algo, el número salió distinto o alguna palabra quedó confusa? Escríbenos.
Abre tu programa de correo con el asunto y la página ya rellenados, y con las preguntas que ayudan a entender el caso. Sin formulario, sin registro, sin cookie.
publicidade
mcm y MCD: cuál es cuál
Los dos nombres andan juntos porque salen de la misma tabla, pero responden preguntas opuestas. El mcm — mínimo común múltiplo — mira hacia arriba: es el número más pequeño que aparece en la tabla de multiplicar de todos al mismo tiempo. El MCD — máximo común divisor — mira hacia abajo: es el número más grande que divide a todos sin dejar resto.
De ahí sale una prueba de sensatez que vale para cualquier respuesta: el mcm nunca es
menor que el mayor de los números, y el MCD nunca es mayor que el menor de ellos.
Para 12 y 18, el mcm es 36 (≥ 18) y el MCD es 6 (≤ 12). Si
tu cuenta dio un "mcm" de 6, lo que calculaste fue el MCD — es el error más repetido
del examen, y lo provoca la propia palabra: el mínimo es el número grande y el
máximo, el pequeño.
Cómo se calcula con la descomposición en factores primos
- Escribe los números uno al lado del otro y traza una barra vertical a la derecha — es la columna de los factores primos.
- Divide por el menor primo posible (2, luego 3, 5, 7…). El que sea divisible baja dividido; el que no lo sea baja repetido.
- Repite hasta que la fila entera sea 1.
- mcm = el producto de toda la columna de la derecha. Cada división hecha entra una vez, haya dividido a un número o a todos.
- MCD = el producto solo de las líneas que dividieron todos los números a la vez — son las líneas que esta página marca con ✓.
La descomposición del ejemplo de esta página
| Los números | Factor primo | ¿Dividió a todos? |
|---|---|---|
| 12, 18 | 2 | ✓ |
| 6, 9 | 2 | — |
| 3, 9 | 3 | ✓ |
| 1, 3 | 3 | — |
| 1, 1 | — | fin |
mcm = 2 × 2 × 3 × 3 = 36 (la columna entera) · MCD = 2 × 3 = 6 (solo las líneas con ✓). Prueba real del par: 36 × 6 = 216 = 12 × 18.
Tres ejemplos resueltos
Tres números: 4, 6 y 8
Dividiendo por 2 tres veces y por 3 una, la columna queda 2, 2, 2, 3, y
solo la primera línea divide a los tres a la vez. mcm = 2 × 2 × 2 × 3 =
24; MCD = 2.
Primos entre sí: 9 y 14
Ningún factor aparece en los dos — 9 es 3 × 3 y 14 es 2 × 7 —, así que ninguna línea
se lleva el ✓. El MCD es 1 y el mcm es el producto: 9 × 14 =
126. Es el caso en el que sumar fracciones cuesta más, porque el
denominador común es el producto entero.
Uno divide al otro: 6 y 18
Todo múltiplo de 18 ya es múltiplo de 6, así que mcm = 18 y MCD =
6 — el mayor y el menor de la pareja, sin cuenta ninguna. Cuando la
calculadora devuelva eso no es un fallo: es el atajo, y sirve para comprobarla de
memoria.
Dónde aparecen estas cuentas fuera del examen
Sumar fracciones (mcm)
Para sumar 1/12 + 1/18, el denominador común es el mcm de 12 y 18, que es
36: 3/36 + 2/36 = 5/36. Usar el producto (216) también funciona, pero
obliga a simplificar al final — el mcm es el menor denominador que sirve.
Problemas de ciclo (mcm)
Dos autobuses salen juntos de la terminal, uno cada 12 minutos y el otro cada 18. Vuelven a salir juntos cada mcm(12, 18) = 36 minutos. Vale para las luces intermitentes, para el horario de un medicamento y para los turnos de guardia: siempre que dos ritmos tengan que coincidir. Si el paso siguiente del problema es una proporción ("en 3 horas, ¿cuántas coincidencias?"), la calculadora de regla de tres lo resuelve con la x en cualquier posición.
Repartir sin que sobre (MCD)
Dos cintas, de 12 m y 18 m, cortadas en trozos iguales del mayor tamaño posible: trozos de MCD(12, 18) = 6 m, sin sobra — dos de la primera, tres de la segunda. La misma cuenta decide la baldosa cuadrada más grande que cubre un suelo de 12 × 18 sin recortes, y cuántos equipos iguales se arman con dos grupos. Para pasar esas partes a porcentaje del total, la calculadora de porcentaje lo hace en un paso.
De las demás cuentas escolares, el conversor de números romanos también muestra la descomposición escrita, que es la misma idea aplicada a otro sistema: enseñar de dónde sale el resultado en lugar de soltarlo. Las áreas de figuras planas, la desviación estándar y las fracciones todavía no tienen calculadora aquí — esta página crece con el catálogo de matemáticas.
Los errores clásicos
Cambiar uno por el otro
"Mínimo" y "máximo" empujan justo hacia el lado contrario: el mcm (mínimo) suele ser el número grande, y el MCD (máximo), el pequeño. La prueba de la sección de la diferencia caza el cambiazo al instante.
Creer que el mcm es siempre el producto
mcm(12, 18) no es 216: es 36. El producto solo es el mcm cuando el MCD es 1, o sea cuando los números son primos entre sí. Multiplicar siempre "funciona" como múltiplo común, pero no como mínimo, y en la suma de fracciones eso se paga simplificando después.
Usar la propiedad de la pareja con tres números
mcm × MCD = producto de los números vale para dos números y es una prueba real excelente. Con tres o más, no: mcm(2, 4, 6) × MCD(2, 4, 6) = 24, y el producto es 48.
Parar la tabla antes de tiempo
La descomposición termina cuando la fila entera es 1, no cuando el primo deja de dividir a todos. Las líneas en las que el primo divide solo a alguno siguen entrando en el mcm — son las que no llevan ✓ — y saltárselas devuelve un múltiplo común que no es múltiplo de todos.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre el mcm y el MCD?
El mcm (mínimo común múltiplo) mira hacia arriba: es el número más pequeño al que todos llegan multiplicando. El MCD (máximo común divisor) mira hacia abajo: es el número más grande que cabe dentro de todos sin dejar resto. Por eso el mcm nunca es menor que el mayor de los números y el MCD nunca es mayor que el menor: para 12 y 18, el mcm es 36 y el MCD es 6.
¿Para qué sirven el mcm y el MCD en la práctica?
El mcm resuelve la suma de fracciones —el denominador común es el mcm de los denominadores— y los problemas de ciclo: dos autobuses que salen juntos cada 12 y cada 18 minutos vuelven a coincidir a los 36 minutos. El MCD resuelve el reparto en partes iguales lo más grandes posible: dos cintas de 12 m y 18 m cortadas en trozos iguales dan trozos de 6 m, sin que sobre nada.
¿Cómo se calculan el mcm y el MCD de tres o más números?
Igual que con dos: la tabla de la descomposición acepta la lista entera. Divide todos por el menor primo posible hasta que solo quede 1 en todas las columnas. El mcm es el producto de todos los factores de la columna de la derecha; el MCD, solo de los factores que dividieron todos los números a la vez. En esta calculadora se usan el 3.er y el 4.º campo: mcm(3, 5, 7) = 105, por ejemplo.
¿Qué significa que el MCD dé 1?
Que los números son primos entre sí (coprimos): ningún factor primo aparece en todos al mismo tiempo. No hace falta que los números sean primos — 8 y 15 son compuestos y su MCD es 1, porque 8 solo tiene factores 2 y 15 solo tiene 3 y 5. Cuando el MCD es 1, el mcm es directamente el producto de los números: mcm(8, 15) = 120.
¿El mcm por el MCD siempre da el producto de los números?
Para DOS números, sí, y sirve de prueba real: para 12 y 18, mcm × MCD = 36 × 6 = 216 = 12 × 18. Para tres o más números la igualdad deja de valer: mcm(2, 4, 6) × MCD(2, 4, 6) = 12 × 2 = 24, y el producto 2 × 4 × 6 es 48. La propiedad es del par, no de la lista, y aplicarla a tres números es el atajo que más se usa mal en el examen.
¿Existen el mcm y el MCD del cero, de un negativo o de un decimal?
Esta calculadora rechaza los tres y explica por qué. Todo número divide al cero, así que un MCD con cero en la lista dejaría de decir nada; múltiplo y divisor están definidos para los enteros, y 7,5 no tiene descomposición en factores primos. Para los negativos la convención usual es usar el valor absoluto —MCD(−12, 18) = 6—, pero aquí solo entran enteros positivos.
Sobre la cuenta: aritmética exacta de enteros, sin tabla oficial ni ley involucrada. Para las demás cuentas del día a día, ve las calculadoras de la página de inicio →