Calculadora del teorema de Pitágoras
Llena dos lados del triángulo rectángulo y deja en blanco el que quieres descubrir. El resultado viene con la cuenta escrita: los cuadrados, la suma o la resta y la raíz cuadrada, con tus números.
La cuenta, paso a paso
De los cuadrados hasta la raíz
Por qué funciona a² + b² = c²
Dibuja un cuadrado de lado a + b y encaja dentro cuatro copias del
triángulo, cada una con un cateto en horizontal y el otro en vertical. El hueco
que queda en medio es un cuadrado inclinado cuyo lado es la hipotenusa — área
c². Reorganiza las mismas cuatro copias en las esquinas de otro
modo y el hueco se vuelve dos cuadrados: uno de área a² y otro de
área b². Mismo cuadrado, mismos triángulos, así que los huecos
tienen la misma área: a² + b² = c².
No es la única demostración — hay más de trescientas catalogadas, incluida una de un presidente de Estados Unidos, James Garfield, que usa el área del trapecio. Todas dicen lo mismo: el teorema no es una regla memorizada, es una igualdad de áreas.
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La fórmula a² + b² = c², sin memorizar
El teorema de Pitágoras habla de un triángulo rectángulo — el que tiene un
ángulo de 90°. Los dos lados que forman ese ángulo son los catetos
(a y b); el lado opuesto a él, siempre el mayor de los
tres, es la hipotenusa (c). El teorema dice que el cuadrado de
la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos: a² + b² = c².
En la práctica, eso da el tercer lado a partir de dos. Si falta la hipotenusa, se
suma: c = √(a² + b²). Si falta un cateto, se resta:
b = √(c² − a²). Es la cuenta de la escalera apoyada en la pared, de la
diagonal del terreno y de la escuadra del albañil — cualquier situación en la que
una distancia inclinada cierra un rincón recto.
El recíproco también vale: si los tres lados cumplen la igualdad, el ángulo es recto. Por eso el teorema sirve tanto para calcular un lado como para comprobar un ángulo — los dos usos aparecen en los ejemplos de abajo.
Cómo calcular, paso a paso
- Identifica la hipotenusa. Es el lado opuesto al ángulo recto, siempre el mayor. Este es el paso donde nace la mayoría de los errores — antes de cualquier cuenta.
- Eleva al cuadrado los dos lados conocidos. Elevar al cuadrado es
multiplicar el número por sí mismo:
3² = 3 · 3 = 9. - Suma o resta. ¿Falta la hipotenusa? Suma los dos cuadrados. ¿Falta un cateto? Al cuadrado de la hipotenusa réstale el cuadrado del cateto conocido.
- Saca la raíz cuadrada del resultado. La suma de los cuadrados es el cuadrado del lado que falta — la raíz es lo que deshace el cuadrado y devuelve el lado.
- Comprueba el tamaño. La hipotenusa tiene que ser mayor que cada cateto y menor que la suma de los dos. Un resultado fuera de esa franja es señal de lado cambiado o de resta olvidada.
El armado del ejemplo de esta página
Catetos 3 y 4, hipotenusa en blanco: 3² + 4² = x². Los cuadrados son
9 y 16, que sumados dan 25. La raíz cuadrada
de 25 es 5 — el triángulo 3-4-5, el más famoso de la escuela.
Cuatro ejemplos resueltos
La escalera apoyada en el muro (falta la hipotenusa)
Un muro de 2 m, con el pie de la escalera separado 1,5 m de la base. La escalera es
la hipotenusa: 2² + 1,5² = x² → 4 + 2,25 = 6,25 →
√6,25 = 2,5 m de escalera.
El cable del poste (falta un cateto)
Un cable de 13 m tensado desde lo alto de un poste de 12 m hasta el suelo. La
separación es un cateto: 13² − 12² = 169 − 144 = 25 →
√25 = 5 m del pie del poste.
La escuadra del albañil (comprobar el ángulo)
Para saber si un rincón está a escuadra, marca 60 cm en un lado y 80 cm en el otro.
60² + 80² = 3.600 + 6.400 = 10.000, y √10.000 = 100: si la
diagonal entre las marcas mide 100 cm, el ángulo es recto — es el recíproco del
teorema, con la terna 3-4-5 multiplicada por 20.
La diagonal del cuadrado (raíz que no cierra)
Un cuadrado de lado 1 m tiene diagonal √(1² + 1²) = √2 = 1,414214 m —
un número irracional, que la calculadora muestra redondeado en seis decimales y
marca como inexacto en la memoria de cálculo.
Ternas pitagóricas: los triángulos sin raíz quebrada
Una terna pitagórica es un trío de enteros que cumple a² + b² = c². Son
los triángulos rectángulos que cierran redondos — y por eso los que más usa el
examen. Reconocer una terna ahorra la cuenta entera: si ves 5 y 12, la hipotenusa
es 13.
| Cateto a | Cateto b | Hipotenusa c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
| 9 | 40 | 41 |
Todo múltiplo de una terna es otra terna: 6-8-10 y 30-40-50 son el 3-4-5 escalado. Escalar los tres lados en la misma medida es una proporción — la misma cuenta de la calculadora de regla de tres —, y cuando la escala viene dada en porcentaje, la calculadora de porcentaje la convierte en el factor que multiplica cada lado.
Los errores clásicos
Olvidar la raíz al final
9 + 16 = 25 no es la respuesta — es el cuadrado de ella. Quien
se detiene en la suma entrega 25 donde la hipotenusa es 5. La comprobación rápida:
el resultado tiene que tener el tamaño de un lado, no el de un área.
Sumar cuando falta un cateto
La suma es solo para la hipotenusa. Si falta un cateto, su cuadrado es
c² − a² — resta. El síntoma de haber sumado es un "cateto" mayor que la
hipotenusa, cosa que ningún triángulo rectángulo permite; esta calculadora rechaza
la cuenta en ese caso en vez de devolver un número imposible.
Aplicarlo donde no hay ángulo recto
El teorema presupone los 90°. En un triángulo cualquiera, a² + b² da
mayor o menor que c² según el ángulo sea agudo u obtuso — y la cuenta,
hecha igualmente, devuelve un número plausible y equivocado, que es el peor tipo de
error.
Mezclar las unidades
Un cateto en metros y otro en centímetros producen un cuadrado sin sentido. Convierte todo a la misma unidad antes de elevar al cuadrado — 1,5 m y 80 cm se vuelven 150 cm y 80 cm, o 1,5 m y 0,8 m.
Preguntas frecuentes
¿Qué dice el teorema de Pitágoras?
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a² + b² = c². La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo de 90°, siempre el mayor de los tres; los catetos son los dos lados que forman ese ángulo. El teorema solo vale para triángulos rectángulos — sin ángulo recto, la igualdad no cierra.
¿Cómo saber cuál lado es la hipotenusa?
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto — el único que no toca el ángulo de 90° — y es siempre el mayor de los tres. En un dibujo es la rampa: los catetos son la pared y el suelo, y la hipotenusa, la escalera apoyada entre ellos. Si el valor que llamaste hipotenusa es menor que otro, los lados están cambiados.
¿Cómo calcular un cateto conociendo la hipotenusa?
Despeja el cateto en la fórmula: b² = c² − a². Eleva la hipotenusa al cuadrado, resta el cuadrado del cateto conocido y saca la raíz cuadrada de lo que quede. Con hipotenusa 13 y cateto 5: 169 − 25 = 144, y √144 = 12. En esta calculadora basta con dejar en blanco el campo del cateto que falta.
¿Funciona el teorema con números decimales?
Funciona, y la calculadora acepta tanto la coma del español como el punto de quien copió de una hoja de cálculo: 1,5 y 1.5 son el mismo número. El punto de milar también se entiende — 1.250 son mil doscientos cincuenta. Los catetos 1,5 y 2 dan hipotenusa 2,5, que es la terna 3-4-5 dividida entre dos.
¿Por qué el resultado a veces viene redondeado?
Porque no toda raíz cuadrada es exacta. Los catetos 1 y 1 dan hipotenusa √2 = 1,4142135…, un número irracional, con infinitos decimales que no se repiten. La calculadora muestra hasta seis decimales y avisa en la memoria de cálculo cuando el valor exacto tiene más decimales que los mostrados.
¿El teorema vale para cualquier triángulo?
No — solo para el triángulo rectángulo, el que tiene un ángulo de 90°. Pero el recíproco también vale, y es útil: si los tres lados cumplen a² + b² = c², el triángulo ES rectángulo. Así comprueba la escuadra un albañil sin transportador: marca 60 cm en un lado y 80 cm en el otro, y el rincón está a escuadra cuando la diagonal mide 100 cm.
¿Qué son las ternas pitagóricas?
Son tríos de números enteros que cumplen a² + b² = c², como 3-4-5, 5-12-13 y 8-15-17. Son los triángulos rectángulos "redondos", sin raíz quebrada, y por eso dominan los exámenes. Multiplicar una terna por cualquier número da otra terna: 6-8-10 y 30-40-50 son el 3-4-5 escalado, que es una regla de tres.
Sobre la cuenta: geometría exacta, sin tabla oficial ni ley involucrada. Para la regla de tres, los porcentajes y las demás cuentas de la escuela, ve las calculadoras de la página de inicio →