Calculadora do teorema de Pitágoras
Preencha dois lados do triângulo retângulo e deixe em branco o que você quer descobrir. O resultado vem com a conta escrita: os quadrados, a soma ou a diferença e a raiz quadrada, com os seus números.
A conta, passo a passo
Dos quadrados até a raiz
Por que a² + b² = c² funciona
Desenhe um quadrado de lado a + b e encaixe dentro dele quatro
cópias do triângulo, cada uma com um cateto na horizontal e o outro na
vertical. O buraco que sobra no meio é um quadrado inclinado cujo lado é a
hipotenusa — área c². Reorganize as mesmas quatro cópias nos
cantos de outro jeito e o buraco vira dois quadrados: um de área
a² e outro de área b². Mesmo quadrado, mesmos
triângulos, então os buracos têm a mesma área: a² + b² = c².
Não é a única prova — há mais de trezentas catalogadas, inclusive uma de um presidente dos Estados Unidos, James Garfield, que usa a área do trapézio. Todas dizem a mesma coisa: o teorema não é uma regra decorada, é uma igualdade de áreas.
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A fórmula a² + b² = c², sem decoreba
O teorema de Pitágoras fala de um triângulo retângulo — o que tem um
ângulo de 90°. Os dois lados que formam esse ângulo são os
catetos (a e b); o lado oposto a ele, sempre o
maior dos três, é a hipotenusa (c). O teorema diz que o
quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos:
a² + b² = c².
Na prática, isso dá o terceiro lado a partir de dois. Faltando a hipotenusa,
soma-se: c = √(a² + b²). Faltando um cateto, subtrai-se:
b = √(c² − a²). É a conta da escada apoiada na parede, da
diagonal do terreno e do esquadro do pedreiro — qualquer situação em que uma
distância inclinada fecha um canto reto.
A recíproca também vale: se os três lados satisfazem a igualdade, o ângulo é reto. Por isso o teorema serve tanto para calcular um lado quanto para conferir um ângulo — os dois usos aparecem nos exemplos abaixo.
Como calcular, passo a passo
- Identifique a hipotenusa. É o lado oposto ao ângulo reto, sempre o maior. Este é o passo em que a maioria dos erros nasce — antes de qualquer conta.
- Eleve ao quadrado os dois lados conhecidos. Elevar ao quadrado é
multiplicar o número por ele mesmo:
3² = 3 · 3 = 9. - Some ou subtraia. Falta a hipotenusa? Some os dois quadrados. Falta um cateto? Do quadrado da hipotenusa, desconte o quadrado do cateto conhecido.
- Tire a raiz quadrada do resultado. A soma dos quadrados é o quadrado do lado que falta — a raiz é o que desfaz o quadrado e devolve o lado.
- Confira o tamanho. A hipotenusa tem de ser maior que cada cateto e menor que a soma dos dois. Resultado fora dessa faixa é sinal de lado trocado ou de subtração esquecida.
A montagem do exemplo desta página
Catetos 3 e 4, hipotenusa em branco: 3² + 4² = x². Os quadrados
são 9 e 16, que somados dão 25. A raiz
quadrada de 25 é 5 — o triângulo 3-4-5, o mais famoso da escola.
Quatro exemplos resolvidos
A escada apoiada no muro (falta a hipotenusa)
Um muro de 2 m, com o pé da escada afastado 1,5 m da base. A escada é a
hipotenusa: 2² + 1,5² = x² → 4 + 2,25 = 6,25 →
√6,25 = 2,5 m de escada.
O cabo do poste (falta um cateto)
Um cabo de 13 m esticado do topo de um poste de 12 m até o chão. O
afastamento é um cateto: 13² − 12² = 169 − 144 = 25 →
√25 = 5 m do pé do poste.
O esquadro do pedreiro (conferir o ângulo)
Para saber se um canto está no esquadro, marque 60 cm num lado e 80 cm no
outro. 60² + 80² = 3.600 + 6.400 = 10.000, e
√10.000 = 100: se a diagonal entre as marcas medir 100 cm, o
ângulo é reto — é a recíproca do teorema, com o terno 3-4-5 multiplicado
por 20.
A diagonal do quadrado (raiz que não fecha)
Um quadrado de lado 1 m tem diagonal √(1² + 1²) = √2 = 1,414214 m
— um número irracional, que a calculadora mostra arredondado em seis casas e
marca como inexato na memória de cálculo.
Ternos pitagóricos: os triângulos sem raiz quebrada
Terno pitagórico é um trio de inteiros que satisfaz
a² + b² = c². São os triângulos retângulos que fecham redondos —
e por isso os que a prova mais usa. Reconhecer um terno economiza a conta
inteira: viu 5 e 12, a hipotenusa é 13.
| Cateto a | Cateto b | Hipotenusa c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
| 9 | 40 | 41 |
Todo múltiplo de um terno é outro terno: 6-8-10 e 30-40-50 são o 3-4-5 escalado. Escalar os três lados na mesma medida é uma proporção — a mesma conta da Calculadora de regra de três.
Os erros clássicos
Esquecer a raiz no fim
9 + 16 = 25 não é a resposta — é o quadrado dela. Quem
para na soma entrega 25 onde a hipotenusa é 5. O cheque rápido: o resultado
tem de ter o tamanho de um lado, não de uma área.
Somar quando falta um cateto
A soma é só para a hipotenusa. Faltando um cateto, o quadrado dele é
c² − a² — subtração. O sintoma de ter somado é um "cateto" maior
que a hipotenusa, o que nenhum triângulo retângulo permite; esta calculadora
recusa a conta nesse caso em vez de devolver um número impossível.
Aplicar onde não há ângulo reto
O teorema pressupõe os 90°. Num triângulo qualquer, a² + b² dá
maior ou menor que c² conforme o ângulo é agudo ou obtuso — e a
conta, feita assim mesmo, devolve um número plausível e errado, que é o pior
tipo de erro.
Misturar as unidades
Um cateto em metros e outro em centímetros produzem um quadrado sem sentido. Converta tudo para a mesma unidade antes de elevar ao quadrado — 1,5 m e 80 cm viram 150 cm e 80 cm, ou 1,5 m e 0,8 m.
Perguntas frequentes
O que diz o teorema de Pitágoras?
Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: a² + b² = c². A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90°, sempre o maior dos três; os catetos são os dois lados que formam esse ângulo. O teorema só vale para triângulos retângulos — sem ângulo reto, a igualdade não fecha.
Como saber qual lado é a hipotenusa?
A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto — o único que não toca o ângulo de 90° — e é sempre o maior dos três lados. Num desenho, é a rampa: os catetos são a parede e o chão, e a hipotenusa é a escada apoiada entre eles. Se o valor que você chamou de hipotenusa é menor que um dos outros, os lados estão trocados.
Como calcular um cateto conhecendo a hipotenusa?
Isole o cateto na fórmula: b² = c² − a². Eleve a hipotenusa ao quadrado, subtraia o quadrado do cateto conhecido e tire a raiz quadrada do que sobrar. Com hipotenusa 13 e cateto 5: 169 − 25 = 144, e √144 = 12. Nesta calculadora, basta deixar em branco o campo do cateto que falta.
O teorema funciona com números decimais?
Funciona, e a calculadora aceita tanto a vírgula do português quanto o ponto de quem copiou de uma planilha: 1,5 e 1.5 são o mesmo número. Ponto de milhar também é entendido — 1.250 são mil duzentos e cinquenta. Catetos 1,5 e 2 dão hipotenusa 2,5, que é o terno 3-4-5 dividido por dois.
Por que o resultado às vezes vem arredondado?
Porque nem toda raiz quadrada é exata. Os catetos 1 e 1 dão hipotenusa √2 = 1,4142135…, um número irracional, com infinitas casas que não se repetem. A calculadora mostra até seis casas decimais e avisa na memória de cálculo quando o valor exato tem mais casas do que as mostradas.
O teorema vale para qualquer triângulo?
Não — só para o triângulo retângulo, que tem um ângulo de 90°. Mas a recíproca também vale, e é útil: se os três lados satisfazem a² + b² = c², o triângulo É retângulo. É assim que pedreiro e marceneiro conferem esquadro sem transferidor: marcam 60 cm num lado, 80 cm no outro, e o canto está no esquadro quando a diagonal mede exatamente 100 cm.
O que são ternos pitagóricos?
São trios de números inteiros que satisfazem a² + b² = c², como 3-4-5, 5-12-13 e 8-15-17. Eles são os triângulos retângulos "redondos", sem raiz quebrada — por isso dominam as provas. Multiplicar um terno por qualquer número dá outro terno: 6-8-10 e 30-40-50 são o 3-4-5 escalado.
Sobre a conta: geometria exata, sem tabela oficial nem lei envolvida. Para regra de três, médias e as outras contas da escola, veja as calculadoras de matemática →