Calculadora de MMC e MDC
Digite dois números — ou até quatro — e receba o MMC e o MDC com a tabela da decomposição em fatores primos montada linha a linha, do jeito que a escola ensina.
Os dois resultados, com a conta
Da tabela aos dois resultados
A tabela da decomposição, linha a linha
12, 18 │ 2 ✓
6, 9 │ 2
3, 9 │ 3 ✓
1, 3 │ 3
1, 1 │Cada linha divide os números da vez pelo menor fator primo possível — quem não é divisível desce repetido — até só restar 1. O ✓ marca as linhas em que o primo dividiu todos os números de uma vez: o produto delas é o MDC. O produto da coluna inteira é o MMC.
Como melhorar esta calculadora?
Faltou uma verba, o número saiu diferente do seu contracheque ou alguma palavra ficou confusa? Escreva. Quem lê é a pessoa que mantém o site, e é daí que sai a próxima versão desta página.
Abre seu programa de e-mail com o assunto e a página já preenchidos, e com as perguntas que ajudam a entender o caso. Sem formulário, sem cadastro, sem cookie.
publicidade
MMC e MDC: qual é a diferença
Os dois nomes andam juntos porque saem da mesma tabela, mas respondem perguntas opostas. O MMC — mínimo múltiplo comum — olha para cima: é o menor número que aparece na tabuada de todos ao mesmo tempo. O MDC — máximo divisor comum — olha para baixo: é o maior número que divide todos sem deixar resto.
Isso dá um teste de sanidade que vale para qualquer resposta: o MMC nunca é menor
que o maior dos números, e o MDC nunca é maior que o menor deles. Para 12 e 18,
o MMC é 36 (≥ 18) e o MDC é 6 (≤ 12). Se a sua conta deu
um "MMC" de 6, você calculou o MDC — é o erro mais comum da prova.
Como calcular pela decomposição em fatores primos
- Escreva os números lado a lado e trace uma barra vertical à direita — é a coluna dos fatores primos.
- Divida pelo menor primo possível (2, depois 3, 5, 7…). Quem for divisível desce dividido; quem não for desce repetido.
- Repita até a fileira virar só 1.
- MMC = o produto de toda a coluna da direita. Cada divisão feita entra uma vez, tenha dividido um número ou todos.
- MDC = o produto só das linhas que dividiram todos os números de uma vez — são as linhas que esta página marca com ✓.
A decomposição do exemplo desta página
| Os números | Fator primo | Dividiu todos? |
|---|---|---|
| 12, 18 | 2 | ✓ |
| 6, 9 | 2 | — |
| 3, 9 | 3 | ✓ |
| 1, 3 | 3 | — |
| 1, 1 | — | fim |
MMC = 2 × 2 × 3 × 3 = 36 (a coluna inteira) · MDC = 2 × 3 = 6 (só as linhas com ✓). Prova real do par: 36 × 6 = 216 = 12 × 18.
Três exemplos resolvidos
Três números: 4, 6 e 8
Dividindo por 2 três vezes e por 3 uma: a coluna fica 2, 2, 2, 3, e só a
primeira linha divide os três de uma vez. MMC = 2 × 2 × 2 × 3 = 24;
MDC = 2.
Primos entre si: 9 e 14
Nenhum fator aparece nos dois — 9 é 3 × 3 e 14 é 2 × 7 —, então nenhuma linha ganha
✓. O MDC é 1 e o MMC é o produto: 9 × 14 = 126. É o caso em
que a soma de frações fica mais trabalhosa, porque o denominador comum é o produto
inteiro.
Um divide o outro: 6 e 18
Todo múltiplo de 18 já é múltiplo de 6, então MMC = 18 e MDC =
6 — o maior e o menor da dupla, sem conta nenhuma. Quando a calculadora
devolver isso, não é defeito: é o atalho.
Onde essas contas aparecem na vida real
Somar frações (MMC)
Para somar 1/12 + 1/18, o denominador comum é o MMC de 12 e 18, que é
36: 3/36 + 2/36 = 5/36. Usar o produto (216) também funciona, mas obriga
a simplificar no fim — o MMC é o menor denominador que serve.
Problemas de ciclo (MMC)
Dois ônibus partem juntos do terminal, um a cada 12 minutos e outro a cada 18. Voltam a partir juntos a cada MMC(12, 18) = 36 minutos. Vale para pisca-pisca, remédio de horário e escala de plantão — sempre que dois ritmos precisam coincidir. Se o passo seguinte do problema é proporção ("em 3 horas, quantas coincidências?"), a Calculadora de regra de três resolve com o x em qualquer posição.
Dividir sem sobra (MDC)
Duas fitas, de 12 m e 18 m, cortadas em pedaços iguais do maior tamanho possível: pedaços de MDC(12, 18) = 6 m, sem sobra — duas da primeira, três da segunda. A mesma conta decide o maior ladrilho quadrado que cobre um piso de 12 × 18 sem recorte, e o número de equipes iguais que dá para montar com duas turmas. Para transformar as partes em percentual do total, a Calculadora de porcentagem faz a conta em um passo.
As outras contas escolares da família — média ponderada, desvio padrão, teorema de Pitágoras, áreas de figuras planas e a regra de três composta — ainda não têm calculadora aqui; esta página cresce junto com o catálogo de matemática.
Os erros clássicos
Trocar um pelo outro
"Mínimo" e "máximo" induzem ao contrário do que parecem: o MMC (mínimo) costuma ser o número grande, e o MDC (máximo), o pequeno. O teste da seção da diferença pega a troca na hora.
Achar que o MMC é sempre o produto
MMC(12, 18) não é 216 — é 36. O produto só é o MMC quando o MDC é 1 (primos entre si). Multiplicar sempre "funciona" como múltiplo comum, mas não como mínimo, e na soma de frações isso cobra o preço de simplificar depois.
Usar a propriedade do par com três números
MMC × MDC = produto dos números vale para dois números, e é uma ótima prova real. Com três ou mais, não: mmc(2, 4, 6) × mdc(2, 4, 6) = 24, e o produto é 48.
Perguntas frequentes
Qual a diferença entre MMC e MDC?
O MMC (mínimo múltiplo comum) é o menor número que os dois conseguem alcançar multiplicando: o menor múltiplo que aparece nas duas tabuadas. O MDC (máximo divisor comum) é o maior número que cabe dentro dos dois: o maior divisor que os dois compartilham. Por isso o MMC nunca é menor que o maior dos números, e o MDC nunca é maior que o menor deles — para 12 e 18, o MMC é 36 e o MDC é 6.
Para que servem o MMC e o MDC na prática?
O MMC resolve soma de frações (o denominador comum é o MMC dos denominadores) e problemas de ciclo: dois ônibus que partem juntos a cada 12 e a cada 18 minutos voltam a partir juntos no MMC, 36 minutos. O MDC resolve divisão em partes iguais máximas: duas fitas de 12 m e 18 m cortadas em pedaços iguais do maior tamanho possível dão pedaços de 6 m, sem sobra.
Como calcular o MMC e o MDC de três ou mais números?
Do mesmo jeito que com dois: a tabela da decomposição aceita a lista inteira. Divida todos pelo menor primo possível até só restar 1 em todas as colunas. O MMC é o produto de todos os fatores da coluna da direita; o MDC, só dos fatores que dividiram todos os números de uma vez. Nesta calculadora, use o 3º e o 4º campo — mmc(3, 5, 7) = 105, por exemplo.
O que significa quando o MDC dá 1?
Que os números são primos entre si (coprimos): nenhum fator primo aparece em todos ao mesmo tempo. Não é preciso que os números sejam primos — 8 e 15 são compostos e têm MDC 1, porque 8 só tem fatores 2 e 15 só tem 3 e 5. Quando o MDC é 1, o MMC é o produto dos números: mmc(8, 15) = 120.
MMC × MDC é sempre igual ao produto dos números?
Para DOIS números, sim — é uma propriedade que serve de prova real: para 12 e 18, MMC × MDC = 36 × 6 = 216 = 12 × 18. Para três ou mais números a igualdade deixa de valer: mmc(2, 4, 6) × mdc(2, 4, 6) = 12 × 2 = 24, e o produto 2 × 4 × 6 é 48. A propriedade é do par, não da lista.
Existe MMC ou MDC de zero, de número negativo ou de decimal?
Esta calculadora recusa os três, e explica o porquê. Todo número divide o zero, então um MDC com zero na lista deixaria de dizer qualquer coisa; múltiplo e divisor são definidos para inteiros, então 7,5 não tem decomposição em fatores primos. Para negativos a convenção usual é usar o valor absoluto — mdc(−12, 18) = 6 —, mas os problemas escolares e as aplicações práticas trabalham com inteiros positivos, e é o que a calculadora aceita.
Qual é o MMC quando um número divide o outro?
O maior deles — e o MDC é o menor. Se 6 divide 18, todo múltiplo de 18 já é múltiplo de 6, então mmc(6, 18) = 18; e como 6 divide os dois, mdc(6, 18) = 6. É o jeito mais rápido de conferir a calculadora de cabeça.
Sobre a conta: aritmética exata de inteiros, sem tabela oficial nem lei envolvida. Para proporção, porcentagem e as outras contas de escola, veja as calculadoras de matemática →